נגזרת חלקית של פונקציה בכמה משתנים היא נגזרת שלה באחד ממשתניה (כשמתייחסים לשאר המשתנים כאל קבועים), ומשוואות דיפרנציאליות חלקיות מתארות קשר בין פונקציה לא ידועה במספר משתנים ובין נגזרותיה החלקיות. משוואות חלקיות מופיעות באופן תדיר בכל ענפי הפיזיקה וההנדסה. יתר על כן, בשנים האחרונות חלה התפתחות דרמטית בשימוש במשוואות חלקיות אף בתחומים כמו ביולוגיה, מדעי המחשב וכלכלה. למעשה בכל תחום שבו קיימת אינטראקציה בין מספר משתנים בלתי-תלויים אנו שואפים להגדיר פונקציות של משתנים אלה ולמדל תהליכים שונים על ידי בניית משוואות לפונקציות אלה. במקרים שבהם ערכי הפונקציות הלא ידועות בנקודה מסוימת תלויים אך ורק במתרחש בסביבה אינפיניטסימלית של אותה נקודה (כלומר מדובר בתלות לוקאלית), נקבל בדרך כלל משוואה דיפרנציאלית חלקית. אחרת נקבל משוואה אי-לוקאלית. המחקר שלנו עוסק בקשרים בין תכונות איכותיות של אוסף הפתרונות החיוביים של משוואות דיפרנציאליות חלקיות המכונות "אליפטיות" (כגון: מבנה האוסף, התנהגות אסימפטוטית ויציבות ביחס להפרעות קטנות), לבין אי-שוויונות בין מרחבי פונקציות (בעיקר אי-שוויונות מטיפוס הארדי). במחקרנו מצאנו למשל קשר בין התנהגות מנת פונקציית גרין ופתרון חיובי מסוים של המשוואה לאי-שוויון הארדי עם משקל אופטימלי. לראשונה הורחב הדיון גם לאופרטורי שרדינגר המוגדרים על גרפים דיסקרטיים, כלומר לאופרטורים לא-מקומיים (אי-לוקאליים). כדוגמה לחידוש שהתקבל במחקר, הראינו כי אי-שוויון קלאסי שהוכיחו הרולד הארדי ואדמונד לנדאו בשנות העשרים של המאה העשרים ניתן לשיפור, והתקבל אי-שוויון הארדי אופטימלי עם פונקציית משקל חיובית הגדולה ממש מפונקציית המשקל של הארדי. כדוגמה נוספת לתוצאות המחקר, נזכיר כי הוכחנו את ההשערה הבאה: אם פונקציה עצמית מוכללת של אופרטור שרדינגר עם ערך עצמי k חסומה נקודתית על ידי מצב היסוד, אז הערך k שייך לספקטרום של האופרטור (בדרך כלל לספקטרום העיקרי).