באופן מסורתי תחום האנליזה המתמטית עוסק בסוגים שונים של פונקציות עם מספר משתנים מספריים ובעלות ערך מספרי. מנקודת מבט מודרנית יותר אפשר לראות פונקציות אלה כפונקציות במשתנה אחד שרץ במרחב וקטורי. מרחב וקטורי הוא מושג בסיסי באלגברה הליניארית. המישור מהווה דוגמה קלסית למרחב וקטורי: אם בוחרים מערכת צירים במישור, אז אפשר לייצג כל נקודה במישור על-ידי זוג מספרים ממשיים. לכן אפשר לחשוב על פונקציה בשני משתנים כעל פונקציה שמתאימה מספר לכל נקודה במישור. בבעיות העולות בתחומים שונים של המתמטיקה מופיעות פונקציות שהמשתנה שלהן רץ באובייקט גיאומטרי מורכב יותר: למשל קליפה כדורית, חרוט או חלל הזמן. המחקר שלנו התמקד באנליזה של פונקציות שהמשתנה שלהן רץ באובייקט גיאומטרי שאותו אפשר לתאר על-ידי מערכת משוואות פולינומיאליות. כמו כן המחקר התמקד בשימושים של אנליזה זאת בתורת ההצגות (ענף מרכזי באלגברה) ובתורת המספרים. להלן דוגמה לאחת התוצאות שקיבלנו במחקר: לכל פולינום P בשלושה משתנים (לדוגמה הפולינום P(X,Y,Z)=X^2+Y^2-Z^2) יש קשר בין שני הערכים הבאים: 1. מספר שלשות המספרים הטבעיים X ,Y ,Z בין 0 ל-N כך ש P מתחלק ב-N. 2. נפח קבוצת שלשות המספרים הממשיים X ,Y ,Z בין 0 ל-1 המקיימים: P(X,Y,Z)|<1/N| התוצאה תקפה גם לכל מספר אחר של משתנים. באופן מפורט יותר הקשר מתבטא בכך שהטענות הבאות שקולות: 1. המספר המתואר מעלה מתנהג כמו N^2, כאשר N שואף לאינסוף. 2. הנפח המתואר לעיל מתנהג כמו 1 לחלק ל-N, כאשר N שואף לאינסוף. במקרה ש P(X,Y,Z)=X^2+Y^2-Z^2 שתי הטענות נכונות. בעוד שבמקרה ש- P(X,Y,Z)=X^2-Z^2 שתי הטענות שגויות. כאן: https://www.dropbox.com/s/284fj74n0hrrtxz/AV_3.pdf?dl=0 אפשר לראות אנימציה המדגימה את הנפח המתואר לעיל בשני המקרים האלה. כדי לצפות באנימציה יש להוריד את הקובץ ולפתוח אותו על ידי תוכנה המציגה קבצי pdf בתצורת מסך מלא.